Définition
Définition d'un espace topologique séparé :
- \((E,\tau)\) est un espace topologique
- $$\begin{align}&\forall x,y\in E,\\ & x\ne y\implies\exists U,V\in\tau,x\in U,y\in V,U\cap V=\varnothing\end{align}$$
$$\Huge\iff$$
Propriétés
Topologie induite
Séparation de la topologie induite :
- \((E,\tau)\) est un espace topologique
- \(F\subset E\)
- \(E\) est séparé
$$\Huge\implies$$
- \(F\) est séparé pour la topologie induite
Lien avec les voisinages
Lien entre séparation et voisinage :
- \(\forall x\in E\), l'intersection des voisinages fermés de \(x\) est égale à \(\{x\}\)
$$\Huge\iff$$
Dans un espace séparé, les singletons sont fermés
Lien avec la finesse
Lien entre séparation et finesse :
- \(\tau_1\) est plus fine que \(\tau_2\)
- \(\tau_2\) est séparée
$$\Huge\implies$$
Singletons
Proposition :
Dans une topologie séparée, les singletons sont fermés